Князь Алексей Борисович Куракин принадлежал к старинному роду, ведущему свое начало от московского боярина Федора Кураки, служившего при дворе великого князя Василия III. Он родился 19 сентября 1759 года. Службу начал в гвардии. Однако военная карьера не прельщала князя, и вскоре он перешел на гражданскую службу — вначале был избран заседателем 1-го департамента Верхнего земского суда (1780 год), а затем попал в Сенатскую канцелярию, которой руководил генерал-прокурор князь А. А. Вяземский. Здесь он служил под началом А. И. Васильева (впоследствии графа и министра финансов). К 35 годам Алексей Куракин имел уже чин тайного советника и был награжден орденами Св. Анны и Св. Владимира 2-й степени.
Подлинный взлет карьеры А. Б. Куракина начался при императоре Павле I, который благоволил к нему и, в особенности, к его старшему брату — Александру Куракину. Оба они были щедро осыпаны милостями монарха: Александр Куракин стал вице-канцлером, а Алексей Куракин 4 декабря 1796 года занял посты генерал-прокурора Сената, главного директора Ассигнационного банка и присутствующего в Совете при высочайшем дворе. Он получил чин действительного тайного советника, а 19 декабря 1797 года — орден Св. Андрея Первозванного. Ему были пожалованы деревни с несколькими тысячами душ и богатые рыбные промыслы на Волге. К высоким должностям Алексея Борисовича вскоре добавились новые — министр департамента удельных имений и канцлер российских орденов. По его инициативе был учрежден государственный вспомогательный банк для дворян, главным попечителем которого становится он сам.
В царствование Павла I прокуратура переживала невиданный подъем. Без генерал-прокурора не решалось, по существу, ни одно важное дело. Он занимался финансовыми, военными, административными, полицейскими, судебными делами. От него зависело назначение и увольнение многих сановников, раздача им наград и пожалований.
Князь Куракин всегда поддерживал своих подчиненных и в переписке с губернаторами предлагал им все «требования прокуроров с надлежащим уважением принимать».
Одна из основных обязанностей Куракина, как и его предшественников, заключалась в наблюдении за Сенатскими решениями. Разбираясь с делами в Сенате, генерал-прокурор не мог не заметить значительного количества накопившихся нерешенных дел как в департаментах (свыше 11 тысяч уголовных и гражданских дел), так и в общем собрании (360). Для того времени это были внушительные цифры. Куракин представил свои предложения Павлу I — об учреждении трех дополнительных временных департаментов для рассмотрения неотложных дел и о перераспределении нагрузки между существующими департаментами Сената, с которыми император согласился. Наряду с этим князь Куракин занимался рассмотрением многих финансовых и административных вопросов, проблемами управления заводами, фабриками, промыслами и т. д.
Генерал-прокурору Куракину приходилось выполнять все указания и распоряжения императора, даже самые сумасбродные. Особенно бурное негодование Павла I вызывали случаи нарушения военными лицами и чиновниками установленных правил ношения форменной одежды. По этому поводу Куракин вынужден был рассылать по губерниям строгие предписания наместникам о неустанном наблюдении за ношением «новоустановленной формы».